22.10.2006

Логические выражения и таблицы истинности (Конспект 2)

Учимся составлять логические выражения из высказываний, определяем понятие “таблица истинности”, изучаем последовательность действий построения таблиц истинности, учимся находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности.

Цели урока:

  1. Обучающие:
    1. Научить составлять логические выражения из высказываний
    2. Ввести понятие “таблица истинности”
    3. Изучить последовательность действий построения таблиц истинности
    4. Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности
    5. Ввести понятие равносильности логических выражений
    6. Научить доказывать равносильность логических выражений, используя таблицы истинности
    7. Закрепить навыки нахождения значений логических выражений посредством построения таблиц истинности
  2. Развивающие:
    1. Развивать логическое мышление
    2. Развивать внимание
    3. Развивать память
    4. Развивать речь учащихся
  3. Воспитательные:
    1. Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
    2. Воспитывать аккуратность ведения тетради
    3. Воспитывать дисциплинированность

Ход урока

Организационный момент

Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Составление логических выражений. Таблицы истинности». Изучив данную тему, вы научитесь, как  из высказываний составляются логические формы, и определять их истинность посредством составления таблиц истинности.

Проверка домашнего задания

Записать решение домашних задач на доску
Все остальные откройте тетради, я пройду, проверю, как вы выполнили домашнее задание
Давайте еще раз повторим логические операции
В каком случае в результате операции логического умножения составное высказывание будет истинно?
Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
В каком случае в результате операции логического сложения составное высказывание будет ложно?
Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения, ложно тогда, когда ложны все входящие в него простые высказывания.
Как влияет инверсия на высказывание?
Инверсия делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Что вы можете сказать об импликации?
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».
Обозначается А -> В
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импли­кации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).
Что вы можете сказать о логической операции эквивалентности?
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи “... тогда и только тогда, когда…”, “…в том и только в том случае…”
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Объяснение нового материала

Хорошо, повторили пройденный материал, переходим к новой теме.

На прошлом уроке мы находили значение составного высказы­вания путем подстановки исходных значений входящих логических переменных. А сегодня мы узнаем, что можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или лож­ность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значе­ний простых высказываний (логических переменных) и, что можно определить значения исходных логических переменных, зная какой нам нужен результат.

Еще раз рассмотрим наш пример с прошлого урока

F = (AvB)&(AvB)

и построим таблицу истинности для этого составного высказывания

При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий. Давайте запишем

  1. Необходимо определить количество строк в таблице истинности.
    • количество строк = 2n,  где n – количество логических переменных
  2. Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.
  3. Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью  выполнения  логических  операций  с  учетом скобок и приоритетов;
  4. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений
  5. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Записали. Строим таблицу истинности
Что мы делаем во-первых?
Определить количество столбцов в таблице
Как мы это делаем?
Считаем количество переменных. В нашем случае логическая функция  содержит 2 переменные
Какие?
А и В
Значит сколько строк будет в таблице?
Количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.
А если 3 переменных?
Количество строк = 2³ = 8
Верно. Что делаем дальше?
Определяем количество столбцов = количеству логических переменных плюс количество логических операций.
Сколько будет в нашем случае?
В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.
Хорошо. Дальше?
Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.
Какую операцию будем выполнять первой? Только учитывайте скобки и приоритеты
Можно сначала выполнить логическое отрицание или найти значение сначала в первой скобке, затем инверсию и значение во второй скобке, затем значение между этими скобками

А

В

АvВ

┐А

┐В

┐Аv┐В

(AvB)&(┐Av┐B)

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значении логических переменных
Теперь записываем пункт “Равносильные логические выражения”.
Логические выра­жения, у которых последние столбцы таблиц истинности сов­падают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак “ = “,
Докажем, что логические выражения  ┐ А& ┐В и AvB равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения

┐  А & ┐  В

Сколько строк будет в таблице?           4
Сколько столбцов  будет в таблице?    5
Какую операцию будем выполнять первой?    Инверсию А, инверсию В

А

В

┐А

┐В

┐А&┐В

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

Теперь построим таблицу истинности логического выражения AvB
Сколько строк будет в таблице?           4
Сколько столбцов  будет в таблице?    4

Мы все понимаем, что, если нужно найти отрицание для всего выражения, то приоритет, в нашем случае,  принадлежит дизъюнкции. Поэтому сначала выполняем дизъюнкцию, а затем инверсию. К тому же мы можем переписать наше логическое выражение AvB. Т.к. нам нужно найти отрицание всего выражения, а не отдельных переменных, то инверсию можно вынести за скобки ┐(AvB), а мы знаем, что сначала находим значение в скобках

А

В

AvB

┐(AvB)

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

Построили таблицы. Теперь давайте, сравним значения в последних столбцах таблиц истинности, т.к. именно последние столбцы являются результирующими. Они совпадают, следовательно, логические выражения равносильны и мы можем поставить между ними знак “=”

 ┐ А& ┐В = AvB

Решение задач

1.  Построить таблицу истинности для формулы

Av(Bv┐B=>┐C)

Сколько переменных содержит данная формула?     3
Сколько строк и столбцов будет в таблице?             8 и 8
Какова будет в нашем примере последовательность операций? (инверсия, операции в скобках, операцию за скобкой)

А

В

С

┐B

┐C

Bv┐B (1)

(1) =>┐C

Av(Bv┐B=>┐C)

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

2. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следую­щих логических выражений:

 (А → B) И (Av┐B)

А

В

A → B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

А

В

┐B

Av┐B

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

Какой делаем вывод? Данные логические выражения не равносильны

Домашнее задание

 Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения

┐A v ┐B и А&В равносильны

Объяснение нового материала (продолжение)

Мы уже несколько уроков подряд используем понятие “таблица истинности”, а что же такое таблица истинности, как вы думаете?
Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.
Как вы справились с домашним заданием, какой у вас получился вывод?
Выражения равносильны
Помните, на предыдущем уроке мы из составного высказывания составляли формулу, заменяя простые высказывания 2*2=4 и 2*2=5 переменными А и В
Теперь давайте учиться составлять логические выражения из высказываний

Запишите задание

Записать в виде логической формулы высказывания:

1) Если Иванов здоров и богат, то он здоров

Анализируем высказывание. Выявляем простые высказывания

А – Иванов здоров
В – Иванов богат

Хорошо, тогда как будет выглядеть формула? Только не забудьте, чтобы не терялся смысл высказывания, расставить скобки в формуле

(А&В)→А

2) Число является простым, если оно делится только на 1 и само на себя

А - число делится только на 1
В - число делится только на себя
С - число является простым

(А&В)→С

3) Если число делится на 4, оно делится на 2

А - делится на 4
В - делится на 2

А→В

4) Произвольно взятое число либо делится на 2,либо делится на 3

А - делится на 2
В - делится на 3

AvB

5) Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принимал «допинг».

А - спортсмен подлежит дисквалификации
В - некорректно ведет себя по отношению к сопернику
С - некорректно ведет себя по отношению к судье
D - принимал «допинг».

(BvD) vC→A

Решение задач

1.  Построить таблицу истинности для формулы

((p&q)→ (p→ r)) v p

Объясняем сколько строк и столбцов будет в таблице? (8 и 7) Какова будет последовательность операций и почему?

p

q

r

p&q

p→ r

(p&q)→ (p→ r)

((p&q)→ (p→ r)) v p

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Посмотрели на последний столбец и сделали вывод, что при любом наборе входных параметров формула принимает истинное значение, такая формула называется тавтологией. Запишем определение:

Формула называется законом логики, или тавтологией, если она  принимает тождественно значение “истина” при любом наборе значений    переменных, входящих в эту формулу.
А если все значения будут ложны, как вы думаете, что можно сказать о такой формуле?
Можно сказать, что формула невыполнима

2. Записать в виде логической формулы высказывания:

Администрация морского порта издала следующее распоряжение:

  1. Если капитан корабля получает специальное указание, то он должен покинуть порт на своем корабле
  2. Если капитан не получает специального указания, то он не должен покидать порт, или он впредь лишается допуска в этот порт
  3. Капитан или лишается допуска в этот порт, или не получает специального указания

Выявляем простые высказывания, составляем формулы

  • А - капитан получает специальное указание
  • В - покидает порт
  • С - лишается допуска в порт
  1. А→В
  2. ┐А→(┐В v С)
  3. С v ┐А

3. Записать составное высказывание “(2*2=4 и 3*3 = 9) или (2*2≠4 и 3*3≠9)” в форме логического выражения. Построить таблицу истинности.

 А={2*2=4} B={3*3 = 9}

(А&В) v (┐А&┐В)

А

В

А&В

┐А

┐В

┐А&┐В

(А&В) v (┐А&┐В)

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

Домашнее задание

Выбрать составное высказывание, имеющее ту же таблицу истинно­сти, что и не (не А и не (В и С)).

  1. АиВ или СиА;                      
  2. (А или В) и (А или С);        
  3. А и (В или С);
  4. А или (не В или не С ).

1win