Цели урока:
Ход урока
Организационный момент
Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Законы логики и правила преобразования логических выражений». Изучив данную тему, вы узнаете, основные законы логики, научитесь упрощать логические выражения, используя логические законы, решать логические задачи
Проверка домашнего задания
Какой у вас получился ответ в домашней задаче? (2)
Откройте свои тетради там, где вы выполняли домашнюю работу, я пройду посмотрю
Объяснение нового материала
Переходим к новой теме.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.
1. Закон двойного отрицания:
А = .
Двойное отрицание исключает отрицание.
2. Переместительный (коммутативный) закон:
— для логического сложения:
A V B = B V A
— для логического умножения:
A&B = B&A.
Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.
В обычной алгебре 2 + 3 = 3 + 2, 2 ´ 3 = 3 ´ 2.
3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
— для логического сложения:
(A Ú B) Ú C = A Ú (BÚ C);
— для логического умножения:
(A&B)&C = A&(B&C).
При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.
В обычной алгебре: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 2 + 3 + 4, 5 ´ (6 ´ 7) = 5 ´ (6 ´ 7) = 5 ´ 6 ´ 7.
4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
— для логического сложения:
(A Ú B)&C = (A&C) Ú (B&C);
— для логического умножения:
(A&B) Ú C = (A Ú C)&(B Ú C).
Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.
В обычной алгебре: (2 + 3) ´ 4 = 2 ´ 4 + 3 ´4.
5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):
— для логического сложения
= & ;
— для логического умножения:
= Ú
6. Закон идемпотентности
— для логического сложения:
A Ú A = A;
— для логического умножения:
A&A = A.
Закон означает отсутствие показателей степени.
7. Законы исключения констант:
— для логического сложения:
A Ú 1 = 1, A Ú 0 = A;
— для логического умножения:
A&1 = A, A&0 = 0.
8. Закон противоречия:
A& = 0.
Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.
9. Закон исключения третьего:
A Ú = 1.
10. Закон поглощения:
— для логического сложения:
A Ú (A&B) = A;
— для логического умножения:
A&(A Ú B) = A.
11. Закон исключения (склеивания):
— для логического сложения:
(A&B) Ú ( &B) = B;
— для логического умножения:
(A Ú B)&( Ú B) = B.
12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):
(A Û B) = (BÛ A).
┐(А→В) = А&┐В
┐А&(АÚВ)= ┐А&В
АÚ┐А&В=АÚВ
Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.
Пример 1. Найдите X, если Ú = В.
Упростим левую часть равенства. Какими законами воспользуемся? Для преобразования левой части равенства последовательно воспользуемся законом де Моргана для логического сложения и законом двойного отрицания:
( & ) Ú ( &A)
Согласно распределительному закону для логического сложения:
&( Ú A)
Согласно закону исключения третьего и закона исключения констант:
&1 =
Полученную левую часть приравняем правой:
= В
Окончательно получим, что
X = .
Пример 2. Упростите логическое выражение (A Ú B Ú C)&
Посмотрите на выражение, посмотрите на законы, что можно сделать?
Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону Моргана) и закону двойного отрицания:
(A Ú B Ú C)& = (A Ú B Ú C)&( &B& )
Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения:
(A Ú B Ú C)&( &B& ) = (A& ) Ú (B& ) Ú (C& ) Ú (A&B) Ú (B&B) Ú (C&B) Ú (A& ) Ú (B& ) Ú (C& )
Согласно закона противоречия:
(A& ) = 0; (C& ) = 0
Согласно закона идемпотентности
(B&B) = B
Подставляем значения и, используя переместительный (коммутативный) закон и группируя слагаемые, получаем:
0 Ú (A&B) Ú ( &B) Ú B Ú (C&B) Ú ( &B) Ú (C& ) Ú (A& ) Ú 0
Согласно закона исключения (склеивания)
(A&B) Ú ( &B) = B
(C&B) Ú ( &B) = B
Подставляем значения и получаем:
0 Ú B Ú B Ú B Ú (C& ) Ú (A& ) Ú 0
Согласно закона исключения констант для логического сложения и закона идемпотентности:
0 Ú B Ú 0 Ú B Ú B = B
Подставляем значения и получаем:
B Ú (C& ) Ú (A& )
Домашнее задание
Упростить логическую формулу:
(A v В) →(В v С).
2-й час
Сегодня мы продолжаем изучать тему “Законы логики и правила преобразования логических выражений”. Будем упрощать выражения и учиться решать логические задачи
Но для начала проверим как вы выполнили домашнее задание (1 ученик у доски, остальные показывают в тетрадях).
Решение задач
1.Упростить логическое выражение
Чтобы проверить правильность упрощения, нужно построить таблицы истинности для исходного и полученного логического выражения. Результирующие столбцы должны совпадать.
2. Логическое выражение называется тождественно – ложным, если оно принимает значения 0 на всех наборах входящих в него простых высказываний.
Упростить выражение и показать, что оно тождественно – ложное
(А&В&┐В) Ú (А&┐А) Ú (В&С&┐С)
2.Логическое выражение называется тождественно – истинным, если оно принимает значения 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний.
Упростить выражение и показать, что оно тождественно – истинное
(А&В&┐С) Ú (А&В&С) Ú┐(АÚВ)
3.Переведите к виду логической формулы высказывание: «Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда и только тогда, когда нет ветра».
Решение. Определим следующие простые высказывания:
П
- «пасмурная погода»;
Д - «идет дождь»;
В
- «дует ветер».
Тогда соответствующее логическое выражение запишется так:
Перейдем к решению логических задач. Логические задачи обычно формулируются на естественном языке. В первую очередь их необходимо формализовать, то есть записать на языке алгебры высказываний. Полученные логические выражения необходимо упростить и проанализировать. Для этого иногда бывает необходимо построить таблицу истинности полученного логического выражения. Несложные задачи решаются путем логических рассуждений.
4. Задача
В школе-новостройке в каждой из двух аудиторий может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На дверях аудиторий повесили шутливые таблички. На первой повесили табличку «По крайней мере, в одной из этих аудиторий размешается кабинет информатики», а на второй аудитории — табличку с надписью «Кабинет физики находится в другой аудитории». Проверяющему, который пришел в школу, известно только, что надписи на табличках либо обе истинны, либо обе ложны. Помогите проверяющему найти кабинет информатики.
Решение задачи.
Переведем условие задачи на язык логики высказывании. Так как в каждой из аудиторий может находиться кабинет информатики, то пусть:
А = «В первой
аудитории находится кабинет информатики»;
В
= «Во второй аудитории находится кабинет информатики».
Отрицаний этих высказывании:
А
= «В первой аудитории находится кабинет физики»;
В = «Bo
второй аудитории находится кабинет физики».
Высказывание, содержащееся на табличке на двери первой аудитории, соответствует логическому выражению:
X = АÚВ.
Высказывание, содержащееся на табличке на двери второй аудитории, соответствует логическому выражению:
Y = А.
Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на табличках либо одновременно истинные, либо одновременно ложные в соответствии с законом исключенного третьего записывается следующим образом:
(X&Y) v(X& Y) = 1.
Подставим вместо X и Y соответствующие формулы:
(X &Y) v (X & Y) = ((А vB) &A)v ((A v B) & А).
Упростим сначала первое слагаемое. В соответствии с законом дистрибутивности умножения относительно сложения:
((А vB) &A) = A&A v B&A
В соответствии с законом непротиворечия:
A&A v B&A = 0 v В&А
Упростим теперь второе слагаемое. В соответствии с первым законом де Моргана и законом двойного отрицания:
(A v B) & А = А&В&А = А&А&В
В соответствии с законом непротиворечия:
А&А&В = 0&В = 0
В результате получаем:
(0 v В & A) v 0 = В& А.
Для того чтобы выполнялось равенство В & А = 1, В и А должны быть равны 1, то есть соответствующие им высказывания истинны.
Ответ: В первой аудитории находится кабинет физики, а во второй — кабинет информатики.
5. Упростить логические выражения. Правильность упрощения логических выражений проверить с помощью таблиц истинности для исходных и полученных логических формул.
Домашнее задание
В процессе составления расписания уроков учителя высказали свои пожелания. Учитель математики, высказал пожелание проводить первый или второй урок, учитель информатики — первый или третий, а учитель физики второй или третий урок. Сколько существует возможных вариантов расписания и каковы они?
3-й час
Проверим, как вы выполнили домашнюю работу.
Продолжаем решать задачи и упрощать логические выражения
1. Задача
Кто из учеников А, В, С и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:
Решение. Определим следующие простые высказывания:
Запишем высказывания:
Запишем произведение указанных сложных высказываний:
((A v В) → С) & (В → С & D) & С.
Упростим эту формулу:
((A v В) → С) & (В → С & D) & С = ((А v В) v С) & (В v С & D) & С = (А & В) v С) & (В v С & D) & C = A & B & C & D =1.
Отсюда А = 0, В = 1, С = 1, D = 1.
Ответ: в шахматы играют ученики В,С и D, а ученик А не играет.